Лабораторная работа № 2
2026-02-24
Показать, как с помощью математического моделирования можно обосновать стратегию поиска/преследования и получить траекторию, ведущую к перехвату.
Сюжет: в тумане катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. В момент краткого прояснения лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера, затем снова скрывается и уходит по прямой в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера в \(n\) раз больше скорости лодки. Требуется определить траекторию катера, обеспечивающую встречу.
Положим \(t_0 = 0\).
В момент обнаружения:
Переходим к полярным координатам:
Ищем расстояние \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одном и том же радиусе относительно полюса.
За время \(t\):
Приравнивая времена и учитывая, что скорость катера равна \(nv\), получаем два режима начальных условий:
После выхода на общий радиус катер должен:
Скорость раскладываем на компоненты:
причём \(v_r=v\), а по Пифагору для полной скорости \(nv\): \[(nv)^2=v_r^2+v_t^2 \;\Rightarrow\; v_t=v\sqrt{n^2-1}.\]
Отсюда система: \[ \frac{dr}{dt}=v,\qquad r\frac{d\theta}{dt}=v\sqrt{n^2-1}. \]
Исключая \(t\), получаем: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]
Вывод по виду решения: в полярных координатах траектория катера является расходящейся (экспоненциальной по углу) спиралью.
Дано:
Цель: построить траектории катера и лодки и по их пересечению определить момент перехвата.
Наблюдения:
Ключевые отличия от case=plus:
Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] видно, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\). Следовательно:
Введём показатель: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Интерпретация:
Для режима case=minus значения выше из-за большего стартового радиуса.
Результаты бенчмаркинга: