Цель работы

Показать, как с помощью математического моделирования можно обосновать стратегию поиска/преследования и получить траекторию, ведущую к перехвату.

Сюжет: в тумане катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. В момент краткого прояснения лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера, затем снова скрывается и уходит по прямой в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера в \(n\) раз больше скорости лодки. Требуется определить траекторию катера, обеспечивающую встречу.

Задание

1. Провести рассуждения и получить дифференциальные уравнения для случая, когда скорость катера превосходит скорость лодки в \(n\) раз.
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По графикам определить точку пересечения траекторий (момент перехвата).

Начальные обозначения и координаты

Положим \(t_0 = 0\).

В момент обнаружения:

• лодка находится в точке \(X_0 = 0\),
• катер расположен на расстоянии \(k\) от лодки (вдоль выбранного направления).

Переходим к полярным координатам:

• полюс — точка обнаружения лодки,
• ось \(r\) направим через начальное положение катера.

Дистанция перехода к «обходу» полюса

Ищем расстояние \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одном и том же радиусе относительно полюса.

За время \(t\):

• лодка проходит \(x\),
• катер проходит \(x-k\) или \(x+k\) (в зависимости от того, как задана начальная конфигурация относительно полюса).

Разложение скорости катера и система ОДУ

Приравнивая времена и учитывая, что скорость катера равна \(nv\), получаем два режима начальных условий:

• case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
• case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

После выхода на общий радиус катер должен:

• удаляться от полюса с радиальной скоростью, равной скорости лодки \(v\),
• одновременно иметь тангенциальную составляющую, чтобы «обметать» направления.

Скорость раскладываем на компоненты:

• \(v_r=\frac{dr}{dt}\),
• \(v_t=r\frac{d\theta}{dt}\),

причём \(v_r=v\), а по Пифагору для полной скорости \(nv\): \[(nv)^2=v_r^2+v_t^2 \;\Rightarrow\; v_t=v\sqrt{n^2-1}.\]

Отсюда система: \[ \frac{dr}{dt}=v,\qquad r\frac{d\theta}{dt}=v\sqrt{n^2-1}. \]

Уравнение траектории катера

Исключая \(t\), получаем: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Вывод по виду решения: в полярных координатах траектория катера является расходящейся (экспоненциальной по углу) спиралью.

Условие задачи для расчётов

Дано:

• расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
• скорость катера выше в \(n=5\) раз.

Цель: построить траектории катера и лодки и по их пересечению определить момент перехвата.

Базовый эксперимент: case = plus

Базовый эксперимент: case = plus

Наблюдения:

• траектория катера — расходящаяся спираль;
• радиус \(r\) увеличивается при росте угла \(\theta\);
• траектория лодки в полярных координатах соответствует лучу (так как в декартовой системе движение прямолинейное).

Базовый эксперимент: case = minus

Базовый эксперимент: case = minus

Ключевые отличия от case=plus:

• начальный радиус больше, поэтому стартовая точка расположена дальше от полюса;
• форма спирали сохраняется, но меняется общий масштаб (траектория «вынесена» наружу).

Сканирование по параметру \(n\)

Сканирование по параметру \(n\)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] видно, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\). Следовательно:

• при малых \(n\) спираль расходится быстрее;
• при больших \(n\) рост радиуса становится более медленным;
• траектории выглядят более «пологими».

Метрика scale_ratio

Введём показатель: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика scale_ratio

Метрика scale_ratio

Интерпретация:

• при малых \(n\) метрика существенно больше 1 — радиальный масштаб траектории катера заметно превышает масштаб лодки;
• с ростом \(n\) метрика быстро уменьшается;
• при больших \(n\) траектории становятся ближе по масштабу.

Для режима case=minus значения выше из-за большего стартового радиуса.

Время вычислений

Время вычислений

Результаты бенчмаркинга:

• время расчёта порядка \(6\times10^{-4}\) сек;
• явной зависимости от \(n\) не выявлено;
• небольшие колебания объясняются адаптивным шагом интегрирования.

Выводы

1. Траектория катера в полярной системе координат имеет вид экспоненциально расходящейся спирали.
2. Параметр \(n\) задаёт темп роста: чем больше \(n\), тем медленнее увеличивается радиус при росте \(\theta\).
3. Начальный режим (case) меняет масштаб траектории, но не её качественную форму.
4. Численное решение устойчиво, а вычислительные затраты практически не зависят от \(n\).